La mathématique : découverte ou invention ? (Auteur Gérard COPIN)

Les rôles de chaque sexe sont-ils de purs constructions sociales, inventés par les hommes pour avoir les femmes à leurs mercis ? Ou bien ces rôles sont-ils biologiquement définis ? (Héritage de la nature avant l'homme).
Ça, c'est une méchante blague sexiste !

Dans le même ordre d'idée, mais plus sérieusement si je remplace le mot sexe par le mot mathématique pour repasser au registre des mathématiques on arrive à ma question, «Les mathématiques existaient elles avant les hommes ?»

Il y a 2300 ans Euclide mathématicien grec, écrit l’œuvre la plus connue après la Bible « les éléments d'Euclide » treize livres qui seront déterminants pour la construction des mathématiques, soit le formalisme mathématique et l'enseignement des mathématiques jusqu'à nos jours. En partant de cinq postulats (aujourd'hui on dit des axiomes), il construit les théorèmes définissants la géométrie Euclidienne de façon claire et parfaitement rigoureuse. Si un théorème est considéré comme une conjoncture, soit une déduction vraie, un postulat (ou axiome) de départ est défini pour construire un système mathématique logique et arbitraire - il est considéré comme intuitivement « juste », on n'a pas la preuve ultime - il va de soi qu'il ne doit pas être auto contradictoire.

La preuve en est, Euclide nous enseigne que par un point extérieur à une droite donnée, il passe une unique droite qui lui est parallèle (version simplifiée du cinquième postulat). Cette définition est mise en doute par de nombreux mathématiciens pendant deux mille ans, est-elle vraiment consistante en tant que postulat ? Aux environs de 1 820, malgré qu' Emmanuel Kant eût écrit qu'il ne pouvait y avoir d'autres géométries que celle d'Euclide, d'autres géométries sont possibles. En effet les mathématiciens Lobatchevski et Riemann ont des visions de monde indépendant et parfaitement cohérent avec une géométrie de topologie hyperboloïde et une géométrie de topologie sphérique pour Riemann. Seulement ces types de géométrie remettent en cause le cinquième postulat, le nombre de parallèle possible par un point à une droite qui est de 1 dans la géométrie euclidienne, correspond à une infinité de droites dans celle de Lobatchevski, et à aucune droite dans la topologie sphérique pour Riemann. Néanmoins, même si le cinquième postulat n'est pas consistant, ce qui est bien ennuyeux, les mathématiques restent logiques dans notre réalité propre.

Si je vous raconte l'histoire d'Euclide, c'est pour rebondir sur la notion d'intuition. Euclide a eu l'intuition de notions préexistantes, il les découvre ? ou à l'inverse, il a plus simplement créé ces notions mathématiques ? Un jour on m'a posé la question «Les mathématiques existaient-elles avant ou après les hommes ?», si pour moi la réponse semble évidente, j'ai découvert avec étonnement que la question est très polémique.

Exemples de citations :

PYTHAGORE De Samos :  Tout l'univers repose sur l'ensemble des entiers naturels.

PLATON : Les nombres sont le plus haut degré de la connaissance. Le nombre est la connaissance même. La géométrie est la connaissance de ce qui est toujours.

Galileo GALILEI, Galilée (1 564 −1 642) : La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l'univers, mais on ne peut le comprendre si l'on ne s'applique d'abord à en comprendre la langue et à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d'en comprendre un mot. Sans eux, c'est une errance dans un labyrinthe obscur.

Einstein : D'après notre expérience à ce jour, nous avons le droit d'être convaincus que la nature est la réalisation de ce qu'on peut imaginer de plus simple mathématiquement. Je suis persuadé que la construction purement mathématique nous permet de trouver ces concepts et les principes les reliant entre eux, qui nous livrent la clef de la compréhension des phénomènes naturels.

Johannes KEPLER (1 571 −1 630) : L'objet principal de toutes les recherches portant sur le monde extérieur devrait être de découvrir l'ordre et l'harmonie rationnels qui lui ont été fixés par Dieu et qu'il nous a révélés dans le langage des mathématiques.

Léopold KRONECKER : Dieu fit le nombre entier, le reste est l'œuvre de l'homme.

Ernest RENAN : Les mathématiques, science de l'éternel et de l'immuable, sont la science de l'irréel.

Newton : La nature obéit à des lois, et nous pouvons les découvrir.

James Jean (Astrophysicien) : Le grand architecte semble être un mathématicien.

Bertrand Russell : Les mathématiques, considérées à leur juste mesure, possèdent non seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d'une sculpture, sans référence à une partie de notre fragile nature, sans les effets d'illusion magnifiques de la peinture ou de la musique, pourtant pure et sublime, capable d'une perfection sévère telle que seulement les plus grands arts peuvent la montrer. L'esprit vrai du plaisir, l'exaltation, l'impression d'être plus qu'un homme, qui est la pierre de touche de l'excellence la plus élevée, doit être trouvé dans les mathématiques aussi sûrement que la poésie.

Eugène Wigner : La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la
nature.

Paul Erdős: Pourquoi les nombres sont-ils beaux ? Cela revient à se demander pourquoi la neuvième symphonie de Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, personne ne pourra vous l'expliquer. Je sais que les nombres sont beaux. S'ils ne sont pas beaux, rien ne l'est !

Stewart (Les mathématiques du chaos – page 269) : Le chaos se produit effectivement dans la nature. En fait, je suis étonné de voir à quel point la Nature semble être au courant des mathématiques du chaos. Et était au apparemment au courant longtemps avant les mathématiciens. Non seulement l’hypothèse de la dynamique chaotique marche – mais elle marche beaucoup mieux que quiconque ne l'aurait espéré.

A présent, je vous présente ma vision des choses.

1)  Je pourrais prendre en exemple, notre système solaire où les astres décrivent des ellipses parfaites selon les trois lois de Kepler, suivant un formalisme métamathématique depuis la nuit des temps, les exemples ne manquent pas dans la nature ou l'univers. Mais soyons encore plus précis, par exemple l'homme n'a pas inventé la suite arithmétique, elle existait peu de temps après le big bang au niveau des échanges d'énergies entre la lumière et la matière, explications :

Les échanges d'énergies entre la lumière et la matière ne se font pas de manière continue mais par quantité élémentaire. Les électrons tournent autour du noyau sur ce que l’on appelle des niveaux et des sous-niveaux d’énergie associés à des nombres entiers n = 2, 3, 4, ... Ils remplissent les niveaux disponibles d’énergie croissante, toujours plus loin du noyau. D’ordinaire, un niveau commence à se remplir uniquement lorsque le précédent est plein. Le premier niveau peut contenir deux électrons au maximum. Le tableau ci-après indique la méthode de remplissage des quatre premiers niveaux d’énergie des électrons et le nombre d’électrons qu’ils peuvent recevoir.
NIVEAU 1 PEUT RECEVOIR UN TOTAL DE 2 ELECTRONS
NIVEAU 2 PEUT RECEVOIR UN TOTAL DE 8 ELECTRONS
NIVEAU 3 PEUT RECEVOIR UN TOTAL DE 18 ELECTRONS
NIVEAU 4 PEUT RECEVOIR UN TOTAL DE 32 ELECTRONS

Explications
Règle générale : En mathématique, une suite arithmétique est une suite (par exemple de nombres) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison. C'est par exemple 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… La suite des nombres impairs est arithmétique de raison 2. Dans le cas des électrons : L’augmentation du nombre d'électrons d'abord de 2 à 8 puis de 8 à 18 et de 18 à 32 ...dessine une suite (6,10,14) qui peut s'apprécier comme une suite arithmétique de raison quatre, ce chiffre 4 se trouvant déjà présent dans la différence entre la première des augmentations (à savoir six) et le nombre d'électrons de la première couche, c'est-à-dire deux. A partir de cette suite dans les niveaux d'énergies, j'en déduis qu'elle préexistait au début de l'univers soit quelques minutes après le big bang (pendant la nucléosynthèse primordiale, environ 13,8 milliards avant l'homme) ensuit tout devient simple (enfin presque) il est ainsi possible de générer tous les nombres entiers bien sûr, mais aussi les relatifs, les algébriques, les transcendants, les imaginaires etc., d’où l'expression du mathématicien Kronecker (Ennemi juré de Cantor) à s'exclamer «Dieu a créé les nombres entiers. L'homme a fait le reste !» Dieu ici n'étant pas le sujet, la question étant limité à la phrase «les mathématiques existaient-elles avant ou après les hommes ?»

2)  Dans un autre registre la nature n'a pas besoin des hommes pour faire des mathématiques ! Une démonstration naïve à première vue, néanmoins elle peut mettre en difficulté un ordinateur mainframe (ordinateur de grande puissance de traitement ).(David Acheson)

Considérons le cas simple de quatre villes A B C D disposées, pour simplifier, aux sommets d'un carré de côté 1. Le problème est qu'on doit pouvoir, à partir de n'importe quelle ville (ou point ABCD), rejoindre les trois autres. La seule condition, le réseau routier doit être le plus court possible !

L'hypothèse la plus évidente serait de relier les quatre villes par une route en forme de U soit une longueur totale de trois unités.

Meilleur, je relie les quatre points par les deux diagonales, le trajet soit une longueur totale de 2x RACINE2 (Pythagore) soit 2,83 unités.

La question est de savoir si on peut encore faire mieux avec plus de points d'intersection. Si le calcul est démentiel, la nature nous donne une solution efficace mais sans appel. Si on prend deux plaques parallèles et transparentes séparées par quatre entretoises placées en carré (qui symbolise nos quatre villes ABCD) et on immerge l'ensemble dans de l'eau savonneuse, ensuite je retire l'ensemble de l'eau savonneuse. J'obtiens un film savonneux qui relie les quatre points ABCD dont la forme et la surface pour une forme donnée la plus optimisée possible (Petite), c'est la solution exacte de notre problème de trajet soit la longueur totale du réseau de 1+ RACINE3 soit 2,73 unités. La forme en >-<, c'est-à-dire cinq tronçons en ligne droite et deux carrefours à trois entrées qui font un angle de 120°, on ne peut pas trouver de réseau plus court pour connecter ces villes.

3)  Toujours dans la nature, par exemple la règle de Léonard de Vinci est vraie, pour presque toutes les espèces d’arbres et les artistes graphiques l’utilisent systématiquement pour créer des arbres réalistes générés par ordinateur. Selon cette règle lorsque le tronc d’un arbre se divise en deux branches, la section totale de ces branches secondaires sera égale à la section transversale du tronc. Si ces deux branches se divisent à leur tour en deux branches, la zone des sections des quatre branches supplémentaires sera égale à la superficie de la section transversale du tronc. Et ainsi de suite.

Exprimée de façon mathématique, la règle de Léonard de Vinci affirme que si une branche d’un diamètre (D) se divise en un nombre arbitraire (n) de branches secondaires de diamètres (D1, D2, etc), la somme des diamètres des branches secondaires au carré est égale au carré du diamètre de la branche d’origine. Ou, sous la forme de formule : D2 = Σdi2, où i = 1, 2, … n. Pour des vrais arbres, l’exposant dans l’équation qui décrit l’hypothèse de Léonard de Vinci n’est pas toujours égal à 2, mais varie plutôt entre 1,8 et 2,3 selon la géométrie des espèces spécifiques de l’arbre. Mais l’équation générale est encore assez proche et vaut pour presque tous les arbres :